rinnovare l'insegnamento

[Joannes Muller]

La trigonometria viene insegnata come due secoli addietro.
Con metodi diversi (vettori ad esempio) ho trovato numerose formule .
Allego un PDF.

[Obim23]

La trigonometria viene insegnata come due secoli addietro.
Con metodi diversi (vettori ad esempio) ho trovato numerose formule .
Allego un PDF.

Scusa la curiosita' ma perche' mai andrebbero insegnate le cose in modo diverso? In matematica le cose andrebbero insegnate in modo che siano piu' semplici possibile evitando di riempire la testa ai ragazzi di formule apparentemente incomprensibili.
In trigonometria e' essenziale sapere cosa sono le funzioni sin(x) e cos(x), funzioni che sono fondamentali in altri campi.
Proprio in trigonometria vengono tirate fuori mille formule che non sono cosi essenziali da memorizzare.
Carine tutte le formule che hai scritto sull'arcotangente ma pensi che bisogna riformare l'insegnamento e fare queste cose?
Essenziale e' sapere che l'arcotan e' l'inversa della tangente (opportunamente ristretta), essenziale e' sapere che tramite l'arcotan si possono calcolare
alcuni integrali di funzioni razionali.
Essenziale e' farli stupire che una funzione trascendente complessa come l'arcotan abbia una derivata che e' una semplice funzione razionale.
Queste sono le cose su cui bisognerebbe far interssare i ragazzi, non certo fargli vedere le cose in modo ancora piu' ostico

[Maìno della Spinetta]

La trigonometria viene insegnata come due secoli addietro.
Con metodi diversi (vettori ad esempio) ho trovato numerose formule .
Allego un PDF.

Scusa la curiosita' ma perche' mai andrebbero insegnate le cose in modo diverso? In matematica le cose andrebbero insegnate in modo che siano piu' semplici possibile evitando di riempire la testa ai ragazzi di formule apparentemente incomprensibili.
In trigonometria e' essenziale sapere cosa sono le funzioni sin(x) e cos(x), funzioni che sono fondamentali in altri campi.
Proprio in trigonometria vengono tirate fuori mille formule che non sono cosi essenziali da memorizzare.
Carine tutte le formule che hai scritto sull'arcotangente ma pensi che bisogna riformare l'insegnamento e fare queste cose?
Essenziale e' sapere che l'arcotan e' l'inversa della tangente (opportunamente ristretta), essenziale e' sapere che tramite l'arcotan si possono calcolare
alcuni integrali di funzioni razionali.
Essenziale e' farli stupire che una funzione trascendente complessa come l'arcotan abbia una derivata che e' una semplice funzione razionale.
Queste sono le cose su cui bisognerebbe far interssare i ragazzi, non certo fargli vedere le cose in modo ancora piu' ostico

Ricordo ancora il mio stupore di ragazzo per la catenaria

[Obim23]

La trigonometria viene insegnata come due secoli addietro.
Con metodi diversi (vettori ad esempio) ho trovato numerose formule .
Allego un PDF.

Scusa la curiosita' ma perche' mai andrebbero insegnate le cose in modo diverso? In matematica le cose andrebbero insegnate in modo che siano piu' semplici possibile evitando di riempire la testa ai ragazzi di formule apparentemente incomprensibili.
In trigonometria e' essenziale sapere cosa sono le funzioni sin(x) e cos(x), funzioni che sono fondamentali in altri campi.
Proprio in trigonometria vengono tirate fuori mille formule che non sono cosi essenziali da memorizzare.
Carine tutte le formule che hai scritto sull'arcotangente ma pensi che bisogna riformare l'insegnamento e fare queste cose?
Essenziale e' sapere che l'arcotan e' l'inversa della tangente (opportunamente ristretta), essenziale e' sapere che tramite l'arcotan si possono calcolare
alcuni integrali di funzioni razionali.
Essenziale e' farli stupire che una funzione trascendente complessa come l'arcotan abbia una derivata che e' una semplice funzione razionale.
Queste sono le cose su cui bisognerebbe far interessare i ragazzi, non certo fargli vedere le cose in modo ancora piu' ostico

Ricordo ancora il mio stupore di ragazzo per la catenaria

Io ricordo un' emozione fortissima quando all'universita' ho fatto il Th fondamentale del calcolo integrale, mi si e' aperto un mondo. Al liceo sapevo usarlo ma non avevo capito veramente la sua portata. La bellezza della matematica e' nelle idee anche se a volte per provarle e' necessario fare un po' di calcoli, piu' le dimostrazioni sono semplici e meglio e'

[Maìno della Spinetta]

Scusa la curiosita' ma perche' mai andrebbero insegnate le cose in modo diverso? In matematica le cose andrebbero insegnate in modo che siano piu' semplici possibile evitando di riempire la testa ai ragazzi di formule apparentemente incomprensibili.
In trigonometria e' essenziale sapere cosa sono le funzioni sin(x) e cos(x), funzioni che sono fondamentali in altri campi.
Proprio in trigonometria vengono tirate fuori mille formule che non sono cosi essenziali da memorizzare.
Carine tutte le formule che hai scritto sull'arcotangente ma pensi che bisogna riformare l'insegnamento e fare queste cose?
Essenziale e' sapere che l'arcotan e' l'inversa della tangente (opportunamente ristretta), essenziale e' sapere che tramite l'arcotan si possono calcolare
alcuni integrali di funzioni razionali.
Essenziale e' farli stupire che una funzione trascendente complessa come l'arcotan abbia una derivata che e' una semplice funzione razionale.
Queste sono le cose su cui bisognerebbe far interessare i ragazzi, non certo fargli vedere le cose in modo ancora piu' ostico

Ricordo ancora il mio stupore di ragazzo per la catenaria

Io ricordo un' emozione fortissima quando all'universita' ho fatto il Th fondamentale del calcolo integrale, mi si e' aperto un mondo. Al liceo sapevo usarlo ma non avevo capito veramente la sua portata. La bellezza della matematica e' nelle idee anche se a volte per provarle e' necessario fare un po' di calcoli, piu' le dimostrazioni sono semplici e meglio e'

Idem, altra esperienza stupenda

[Joannes Muller]

Scusa la curiosita' ma perche' mai andrebbero insegnate le cose in modo diverso? In matematica le cose andrebbero insegnate in modo che siano piu' semplici possibile evitando di riempire la testa ai ragazzi di formule apparentemente incomprensibili.
In trigonometria e' essenziale sapere cosa sono le funzioni sin(x) e cos(x), funzioni che sono fondamentali in altri campi.
Proprio in trigonometria vengono tirate fuori mille formule che non sono cosi essenziali da memorizzare.
Carine tutte le formule che hai scritto sull'arcotangente ma pensi che bisogna riformare l'insegnamento e fare queste cose?
Essenziale e' sapere che l'arcotan e' l'inversa della tangente (opportunamente ristretta), essenziale e' sapere che tramite l'arcotan si possono calcolare
alcuni integrali di funzioni razionali.
Essenziale e' farli stupire che una funzione trascendente complessa come l'arcotan abbia una derivata che e' una semplice funzione razionale.
Queste sono le cose su cui bisognerebbe far interssare i ragazzi, non certo fargli vedere le cose in modo ancora piu' ostico

sono d'accordo sul farli stupire. la matematica per me deve basarsi su pochi concetti fondamentali che devono essere ben chiari, su ragionamento e deve essere divertente non noiosa.
La dimostrazione di una formula che non hai mai visto richiede un certo impegno, idee chiare e magari un po' di fantasia.
hai provato a dimostrare qualcuna delle formule che ho postato ?
Grazie per l'intervento.

[Joannes Muller]

Io ricordo un' emozione fortissima quando all'universita' ho fatto il Th fondamentale del calcolo integrale, mi si e' aperto un mondo. Al liceo sapevo usarlo ma non avevo capito veramente la sua portata. La bellezza della matematica e' nelle idee anche se a volte per provarle e' necessario fare un po' di calcoli, piu' le dimostrazioni sono semplici e meglio e'

i metodi che propongono permettono di dimostrare le formule in modo notevolmente (incredibilmente) piu' semplice.
Inoltre ogni formula l'ho dimostrata senza usare nessun altra formula!..
Grazie dell'intervento

[Obim23]

Scusa la curiosita' ma perche' mai andrebbero insegnate le cose in modo diverso? In matematica le cose andrebbero insegnate in modo che siano piu' semplici possibile evitando di riempire la testa ai ragazzi di formule apparentemente incomprensibili.
In trigonometria e' essenziale sapere cosa sono le funzioni sin(x) e cos(x), funzioni che sono fondamentali in altri campi.
Proprio in trigonometria vengono tirate fuori mille formule che non sono cosi essenziali da memorizzare.
Carine tutte le formule che hai scritto sull'arcotangente ma pensi che bisogna riformare l'insegnamento e fare queste cose?
Essenziale e' sapere che l'arcotan e' l'inversa della tangente (opportunamente ristretta), essenziale e' sapere che tramite l'arcotan si possono calcolare
alcuni integrali di funzioni razionali.
Essenziale e' farli stupire che una funzione trascendente complessa come l'arcotan abbia una derivata che e' una semplice funzione razionale.
Queste sono le cose su cui bisognerebbe far interssare i ragazzi, non certo fargli vedere le cose in modo ancora piu' ostico

sono d'accordo sul farli stupire. la matematica per me deve basarsi su pochi concetti fondamentali che devono essere ben chiari, su ragionamento e deve essere divertente non noiosa.
La dimostrazione di una formula che non hai mai visto richiede un certo impegno, idee chiare e magari un po' di fantasia.
hai provato a dimostrare qualcuna delle formule che ho postato ?
Grazie per l'intervento.

La dimostrazione e' puramente algebrica usando l'identita' tan(a+b)=[tan(a)+tan(b)]\[(1-tan(a)tan(b)]
e il fatto che l'arcotan e' l'inverso della tangente. Applicando la tan alle formule che hai scritto si verificano le varie identita'.
Ne ho verificate un paio. Non vedo dimostrazioni geometriche semplici.
Alla fine in trigonometria l'unica cosa che bisogna dimostrare e' la formula di cos (a-b) che usa il th di pitagora, tutto il resto discende da questo.
Per farsi venire in mente le formule che hai scritto bastava ragionare al contrario ad esempio
la prima formula che hai scritto impostavi
arctan(ab)=arctan(a)+arctan(c)
imponevi l'identita' che ho scritto sopra per la tan della somma e trovavi il valore c dipendente da a e b che altrimenti non sarebbe mai potuto venire in mente.

[Obim23]

Io ricordo un' emozione fortissima quando all'universita' ho fatto il Th fondamentale del calcolo integrale, mi si e' aperto un mondo. Al liceo sapevo usarlo ma non avevo capito veramente la sua portata. La bellezza della matematica e' nelle idee anche se a volte per provarle e' necessario fare un po' di calcoli, piu' le dimostrazioni sono semplici e meglio e'

i metodi che propongono permettono di dimostrare le formule in modo notevolmente (incredibilmente) piu' semplice.
Inoltre ogni formula l'ho dimostrata senza usare nessun altra formula!..
Grazie dell'intervento

Non ho idea che metodo proponi, ma se si dovesse ridimostrare tutto dall'inizio senza usare informazioni precedenti in matematica non si farebbe mezzo passo avanti, se una cosa e' corretta si usa.
La base di tutto e' la formula di cos(a-b) solo li dentro c'e' della geometria, poi sono giochetti algebrici che uno fa se servono.
Il mio intervento era comunque relativo all'insegnamento e per me quando si insegna bisogna trovare la strada piu' semplice, poi se uno si vuole divertire a rifare dimostrazioni in altro modo e' un esercizio di logica che puo' essere piacevole, non lo proporrei a studenti che a mala pena capiscono cosa sono le funzioni trigonometriche basilari e la loro importanza

[Joannes Muller]

e]

Non ho idea che metodo proponi, ma se si dovesse ridimostrare tutto dall'inizio senza usare informazioni precedenti in matematica non si farebbe mezzo passo avanti, se una cosa e' corretta si usa.
La base di tutto e' la formula di cos(a-b) solo li dentro c'e' della geometria, poi sono giochetti algebrici che uno fa se servono.
Il mio intervento era comunque relativo all'insegnamento e per me quando si insegna bisogna trovare la strada piu' semplice, poi se uno si vuole divertire a rifare dimostrazioni in altro modo e' un esercizio di logica che puo' essere piacevole, non lo proporrei a studenti che a mala pena capiscono cosa sono le funzioni trigonometriche basilari e la loro importanza

prova a dimostrare tan (x/2)...(c'e' su tutti i libri)
Poi io posterò la mia dimostrazione..
Un metodo innovativo è un metodo notevolmente piu' semplice di quelli noti, piu' elegante e piu' divertente..

[Obim23]

e]

Non ho idea che metodo proponi, ma se si dovesse ridimostrare tutto dall'inizio senza usare informazioni precedenti in matematica non si farebbe mezzo passo avanti, se una cosa e' corretta si usa.
La base di tutto e' la formula di cos(a-b) solo li dentro c'e' della geometria, poi sono giochetti algebrici che uno fa se servono.
Il mio intervento era comunque relativo all'insegnamento e per me quando si insegna bisogna trovare la strada piu' semplice, poi se uno si vuole divertire a rifare dimostrazioni in altro modo e' un esercizio di logica che puo' essere piacevole, non lo proporrei a studenti che a mala pena capiscono cosa sono le funzioni trigonometriche basilari e la loro importanza

prova a dimostrare tan (x/2)...(c'e' su tutti i libri)
Poi io posterò la mia dimostrazione..
Un metodo innovativo è un metodo notevolmente piu' semplice di quelli noti, piu' elegante e piu' divertente..

scusa non ho capito cosa dovrei dimostrare, immagino un' uguaglianza a cui primo membro c'e' tan(x\2) a secondo membro ci sono tante cose diverse
che si possono scrivere piu' o meno interessanti.
Ad ogni modo posso pensare che e' una delle uguaglianze per riscrivere la tan(x\2) e che si provera' in modo algebrico usando formule note, non mi stupisce che in questo caso si potra' dare anche una dimostrazione geometrica piu' elegante.
Invece per le formule sull'arcotan che hai messo in questo post non solo non vedo una dimostrazione semplice (diversa da quella che usa le formule sulla tangente della somma) ma soprattutto non vedo come possano venire in mente in modo diretto quelle formule.
Quando si dimostra qualcosa prima ci deve essere un enunciato, ad esempio penso che una determinata formula sia vera e poi la dimostro.
Se invece si parte con considerazioni legate ad un metodo specifico e si ottengono delle uguaglianze a posteriori che non sono affatto intuitive
non si puo' chiedere a qualcuno di dimostrarle con il metodo che hai usato tu perche' in questo modo solo per te e' facile visto che sei partito prima con il metodo e poi le hai ottenute ma non sapevi dall'inizio che cosa avresti ottenuto, non so se mi sono spiegato.
In modo piu' diretto tu pensavi che l'arcotan(ab) fosse uguale al secondo membro che hai messo e poi lo hai provato con il tuo metodo cosi' efficace, oppure sei partito da un metodo, presumo geometrico, e con questo hai ottenuto casualmente l'uguaglianza?

[Joannes Muller]

p
scusa non ho capito cosa dovrei dimostrare, immagino un' uguaglianza a cui primo membro c'e' tan(x\2) a secondo membro ci sono tante cose diverse
che si possono scrivere piu' o meno interessanti.
A

scusa tanto, avrei dovuto scrivere tan (x/2)=sin x/(1+cosx)
Capisco le tue perplessità. Io utilizzo un metodo geometrico o vettoriale e mi limito ad applicare la definizione.
ciao

p.S. posso sapere che studi hai fatto?

[Obim23]

p
scusa non ho capito cosa dovrei dimostrare, immagino un' uguaglianza a cui primo membro c'e' tan(x\2) a secondo membro ci sono tante cose diverse
che si possono scrivere piu' o meno interessanti.
A

scusa tanto, avrei dovuto scrivere tan (x/2)=sin x/(1+cosx)
Capisco le tue perplessità. Io utilizzo un metodo geometrico o vettoriale e mi limito ad applicare la definizione.
ciao

p.S. posso sapere che studi hai fatto?

Io ho un dottorato in matematica, mi occupo di analisi matematica

[nino58]

Emilio ed Obim, avete mai pensato di provare a comunicare questo vostro sapere a ragazzi al di fuori di un ambiente scolastico o accademico?

[Obim23]

Emilio ed Obim, avete mai pensato di provare a comunicare questo vostro sapere a ragazzi al di fuori di un ambiente scolastico o accademico?

Ho piu' di 250 studenti a cui devo rendere conto e il resto del tempo che mi rimane devo fare ricerca, infatti nel tempo libero ho voglia di fare
tutto tranne la matematica
Sono intervenuto solo per la questione didattica proprio perche' io in meno di 2 ore di lezione all'universita' devo richiamare la trigonometria che fanno a scuola e ci tenevo a precisare che spesso sono solo alcuni punti salienti quelli che devono sapere non tremila formule

[Joannes Muller]

Io ho un dottorato in matematica, mi occupo di analisi matematica

complimenti !!!
Io mi occupo solo di matematiche elementari...
Da tempo devo terminare un articolo ove presento un metodo probabilmente inedito, per risolvere equazioni lineari diofantee...
Mi diverto anche con la teoria dei numeri..

[Joannes Muller]

Ho piu' di 250 studenti a cui devo rendere conto e il resto del tempo che mi rimane devo fare ricerca, infatti nel tempo libero ho voglia di fare
tutto tranne la matematica
Sono intervenuto solo per la questione didattica proprio perche' io in meno di 2 ore di lezione all'universita' devo richiamare la trigonometria che fanno a scuola e ci tenevo a precisare che spesso sono solo alcuni punti salienti quelli che devono sapere non tremila formule

la trigonometria che io propongo è esattamente il contrario del dover sapere formule.
Chi ha capito i concetti fondamentali le formule se le ricava direttamente..
Quelle che ho proposto sono intese come esercizi da risolvere non formule da conoscere.
Pensando all'arcoseno di una differenza arcsin(a-b) ho cercato su Internet e l'unico risultato l'ho trovato su Wikipedia.A questo punto in pochi minuto ne ho scritto uno piu' semplice, che allego (non ho usato alcuna formula).
La formula su Wikipedia era troppo lunga per questo non l'ho scritta per esteso.
Quella che ho trovato è notevolmente piu' semplice.

[Obim23]

Devo essere sincero non sono cose che mi entusiasmano, non amo particolarmente fare conti a meno che non serva.
Non so come l'hai ricavata, ovviamente anche in questo caso si puo' fare la verifica applicando le funzioni inverse e le formule per la differenza delle funzioni trigonometriche elementari.
Pero' non dici mai quale sarebbe questo segreto per ottenere cosi' facilmente e in modo intuitivo le cose.
Queste formule buttate cosi' sono un macigno altro che ricavarle facilmente, non credo che sia possibile ricavare facilmente tutto questo usando i concetti base della trigonometria.
Non sono neppure utili si tratta di funzioni trascendenti l'unica cosa utile se vuoi calcolare un' approssimazione di un valore di una funzione trascendete
e' saperla approssimare con funzioni calcolabili se riscrivi una cosa attraverso un'altra ancora piu' complicata non serve a nulla, alla fine sempre la calcolatrice devi prendere la quale invece sa come si fa ad approssimare perche' ha un algoritmo all'interno.
Ripeto tutto questo non rispecchia il mio gusto per la matematica, ognuno pero' ha i suoi gusti.
Sai cosa cosa puo' far approssimare qualcuno (vagamente interessato) alla matematica?
Proporgli un problema concreto e far vedere come un modello matematico puo' risolvere quel problema della vita reale.
Ad esempio l'analisi matematica si e' sviluppata per risolvere problemi di meccanica e poi e' diventata indipendente e attraverso essa puoi modellare
anche altri ambiti

[Joannes Muller]

Devo essere sincero non sono cose che mi entusiasmano, non amo particolarmente fare conti a meno che non serva.
Non so come l'hai ricavata, ovviamente anche in questo caso si puo' fare la verifica applicando le funzioni inverse e le formule per la differenza delle funzioni trigonometriche elementari.
Pero' non dici mai quale sarebbe questo segreto per ottenere cosi' facilmente e in modo intuitivo le cose.
Queste formule buttate cosi' sono un macigno altro che ricavarle facilmente, non credo che sia possibile ricavare facilmente tutto questo usando i concetti base della trigonometria.

Grazie per il messaggio. Generalizzare è sempre stato uno stimolo in matematica. Io ho voluto generalizzare ed ho utilizzato un metodo vettoriale ed uno geometrico che mi permettono facilmente di ottenere risultati in modo estremamente semplice. Ognuno ha i suoi interessi. Quando trovo una formula che non ho mai visto prima e dopo la verifica vedo che è esatta per me è una soddisfazione. Mi sono proposto ad esempio di calcolare l'arcoseno di un prodotto ma devo verificare la formula.
Appena avrò un po' di tempo farò un articolo che potrebbe far cambiare a molti insegnanti il modo di trattare la trigonometria. In gioventù un mio libro (Trigonometria trattata vettorialmente) fu adottato in vari Licei e in alcuni corsi abilitanti.
E' estremamente facile rendersi conto dei limiti della trattazione tradizionale della trigonometria: basta provare a dimostrare una delle formule che ho appena presentato.
ciao

P.S. la amtematica deve essere soprattutto ragionamento non calcolo. Se chiedo qual è il MCD di 14463 e 14466 chi ha le idee chiare risponde in pochi secondi, chi procede meccanicamente tribola un bel po'...

[nino58]

Emilio ed Obim, avete mai pensato di provare a comunicare questo vostro sapere a ragazzi al di fuori di un ambiente scolastico o accademico?

Ho piu' di 250 studenti a cui devo rendere conto e il resto del tempo che mi rimane devo fare ricerca, infatti nel tempo libero ho voglia di fare
tutto tranne la matematica
Sono intervenuto solo per la questione didattica proprio perche' io in meno di 2 ore di lezione all'universita' devo richiamare la trigonometria che fanno a scuola e ci tenevo a precisare che spesso sono solo alcuni punti salienti quelli che devono sapere non tremila formule

Capisco.
Qualunque lavoro esige riposo.
La mia domanda sottindeva l'ipotesi di percorrere, per curiosità o desiderio, un sentiero semisconosciuto.
Sentiamo anche Emilio, che suppongo sia già in pensione dunque libero dall'oggettivo peso del lavoro, per bello che sia.

[Joannes Muller]

Capisco.
Qualunque lavoro esige riposo.
La mia domanda sottindeva l'ipotesi di percorrere, per curiosità o desiderio, un sentiero semisconosciuto.
Sentiamo anche Emilio, che suppongo sia già in pensione dunque libero dall'oggettivo peso del lavoro, per bello che sia.

vero che sono in pensione ma sono molto impegnato con 2 lavori diversi . Sto lavorando a un articolo che rivoluzionerà l'insegnamento della trigonometria e a uno che presenta un metodo quasi certamente inedito per risolvere equazioni lineari diofantee .
ciao.
P.S. quello che proponi puo' certamente essere interessante e stimolante.