parliamo di matematica (e matematici...)

[lemond]

Kurt Gödel il dio della logica, di Pier Giorgio Odifreddi IX

Nel 1931 il Nostro pubblica uno storico articolo che, già nel titolo contiene due parole chiave, che rimandano alla nozione di *sistema formale*, le cui origini risalgono a due millenni e mezzo or sono.
Fu Ippocrate (alla lettera, cavallo possente) di Chio a organizzare e ricostruire razionalmente i risultati ottenuti dai grandi geometri dell'antichità (da Talete a Pitagora).
La sua "Stoicheia" (fila o serie, anche se si solito è tradotta con elementi) si pensa fosse una versione preliminare dei primi quattro libri di Euclide (scritti 150 dopo) e considerati il monumento della matematica antica. In essi si trovano due binari paralleli: la definizione e la dimostrazione.
A partire da un piccolo numero di concetti primitivi non definiti, si procede a definire concetti via via più complessi e dipoi si dimostrano proposizioni sempre più complicate, a partire da cose semplici, ma non dimostrate, chiamate assiomi o postulati

[lemond]

Kurt Gödel il dio della logica, di Pier Giorgio Odifreddi X

Euclide aveva chiara la distinzione fra proposizioni primitive/dimostrate ed elencò cinque postulati, ai quali cercò di ridurre tutti i 465 teoremi della sua opera. Il primo postulato era elementare: per due punti passa una sola retta, mentre il quinto era più complicato: per un punto fuori di una retta passa una sola parallela alla retta.
Col passare dei millenni le teoria nel complesso rivelo alcuni punti deboli, in particolare la complessità del quinto assioma stimolò vari tentativi di una dimostrazione, a partire dagli altri quattro; ma soprattutto l'analisi delle 465 dimostrazioni fece emergere qualche fallacia, perché si era scoperto che alcune si basavano su princìpi che non erano stati esplicitamente enunciati come postulati.
Si rendeva necessaria una riscrittura e D. Hilbert nel 1899 produsse "I fondamenti della geometria" (sei concetti primitivi e 21 assiomi), un capolavoro moderno, degno di quello antico.
La riscrittura non portò nessun cambiamento di sostanza: si limitò a dare dimostrazioni più precise e complete, grazie alla introduzione dei nuovi postulati.
La cosa principale che aggiunse Hilbert fu dimostrare che i 21 assiomi erano singolarmente indipendenti e collettivamente completi, nel senso che nessuno di essi poteva essere dimostrato a partire dai rimanenti e solo tutti insieme decidevano qualunque proposizione geometrica, dimostrandola o refutandola.

[lemond]

Kurt Gödel il dio della logica, di Pier Giorgio Odifreddi XI

Quanto sopra ci porta alla logica proposizionale, per la quale basta infatti un'unico mondo, costituito di due soli oggetti, come il vero e il falso o i numeri uno e zero. Su questa base G. Boole sviluppò nel 1847 un semplice calcolo che permetteva di decidere quali formule composte fossero sempre vere, indipendentemente dai valori di verità delle loro componenti.

[lemond]

Kurt Gödel il dio della logica, di Pier Giorgio Odifreddi XII

Correva l'anno 1928 che fu cruciale per la logica in generale e per Gödel in particolare, perché ci furono una serie di avvenimenti memorabili: una conferenza, un corso, un congresso e un libro.
Conferenza del 10 marzo a Vienna
Fu tenuta da Brouwer, un personaggio che non aveva nulla da invidiare a Wittgenstein, in quanto a eccentricità e oracolarità. E chi c'era si poté godere lo spettacolo, fatto di enigmatici riferimenti alla contemplazione matematica, all'intuizione primordiale e tirate contro la nefasta influenza del principio del terzo escluso nella logica. Altrettanto spettacolare fu la presenza di Wittgenstein. Quella conferenza segnò un punto di svolta per entrambi, specie per Brouwer, che si arrese di fronte a Hilbert e sprofondò nell'isolamento per il resto della vita. Quanto a Gödel fu poco influenzato da essa, ma in quell'anno ritoccò la preparazione logica e si disse pronto a "volare con le proprie ali".

[lemond]

Kurt Gödel il dio della logica, di Pier Giorgio Odifreddi XIII

Congresso internazionale di matematica, a Bologna dal 3 al 10/9/1928
L'evento segnò la fine del boicottaggio che le organizzazioni internazionali avevano proclamato nei confronti dei tedeschi dopo la prima guerra mondiale. La delegazione "crucca" era guidata da Hilbert che tenne una relazione sui "Problemi fondamentali della matematica". In essa si voleva dimostrare la coerenza dell'analisi e di almeno una parte della teoria degli insiemi, da un lato e la completezza dell'analisi e della logica dall'altro. In particola Hilbert sperava di arrivare alla completezza dell'analisi per la stessa via seguita per la geometria, dimostrando che il sistema di assiomi era categorico, nel senso di ammettere come unico modello quello dei numeri reali. Questa via era invece preclusa per la logica, perché le sue verità valgono per tutti i mondi possibili. Al congresso di Bologna erano presenti anche alcuni componenti del circolo di Vienna e uno propose a Gödel di provare ad attaccare qualcuno dei problemi proposti dal vecchio professore. Ottimo suggerimento, perché nel giro di due anni il giovane studente li avrebbe risolti tutti e quattro.

[lemond]

Kurt Gödel il dio della logica, di Pier Giorgio Odifreddi XIV

Nel primo semestre del 1929 Gödel scrisse la propria tesi di laurea sulla "completezza del calcolo della logica" dove annuncia la soluzione positiva del problema di Hilbert. A differenza di Frege e Russel, che si erano preoccupati solo dell'universalità dei propri sistemi (come Euclide), lui andò avanti 2000 anni e teorizzò la completezza. Anche Wittgenstein non aveva compreso che gli approcci sintattico e semantico al calcolo proposizionale non erano contrapposti, ma complementari.
Il suo teorema mostra, in particolare, che che la nozione infinista e semantica di "verità in tutti i mondi possibili" coincide con quella finitista e sintattica di dimostrabilità.

P.S. Certo che per chi non è matematico (come me), mi sembra dura capire!

[nino58]

Kurt Gödel il dio della logica, di Pier Giorgio Odifreddi XIV

Nel primo semestre del 1929 Gödel scrisse la propria tesi di laurea sulla "completezza del calcolo della logica" dove annuncia la soluzione positiva del problema di Hilbert. A differenza di Frege e Russel, che si erano preoccupati solo dell'universalità dei propri sistemi (come Euclide), lui andò avanti 2000 anni e teorizzò la completezza. Anche Wittgenstein non aveva compreso che gli approcci sintattico e semantico al calcolo proposizionale non erano contrapposti, ma complementari.
Il suo teorema mostra, in particolare, che che la nozione infinista e semantica di "verità in tutti i mondi possibili" coincide con quella finitista e sintattica di dimostrabilità.

P.S. Certo che per chi non è matematico (come me), mi sembra dura capire!

Capire è dura per due motivi:
il primo è quello della nostra carenza/assenza di conoscenza del linguaggio convenzionale dell'alta matematica (quella che non si studia a scuola) e l'altra è quella dell'assenza di esemplificazione per chi non possiede quell'alfabeto.
Penso che, rimossi questi due scogli (macigni), si potrebbe iniziare a provare a capire.

[lemond]

Kurt Gödel il dio della logica, di Pier Giorgio Odifreddi XIV

Nel primo semestre del 1929 Gödel scrisse la propria tesi di laurea sulla "completezza del calcolo della logica" dove annuncia la soluzione positiva del problema di Hilbert. A differenza di Frege e Russel, che si erano preoccupati solo dell'universalità dei propri sistemi (come Euclide), lui andò avanti 2000 anni e teorizzò la completezza. Anche Wittgenstein non aveva compreso che gli approcci sintattico e semantico al calcolo proposizionale non erano contrapposti, ma complementari.
Il suo teorema mostra, in particolare, che che la nozione infinista e semantica di "verità in tutti i mondi possibili" coincide con quella finitista e sintattica di dimostrabilità.

P.S. Certo che per chi non è matematico (come me), mi sembra dura capire!

Capire è dura per due motivi:
il primo è quello della nostra carenza/assenza di conoscenza del linguaggio convenzionale dell'alta matematica (quella che non si studia a scuola) e l'altra è quella dell'assenza di esemplificazione per chi non possiede quell'alfabeto.
Penso che, rimossi questi due scogli (macigni), si potrebbe iniziare a provare a capire.

Hai ragione.

[matteo.conz]

odifreddi in un video per Rai Nettuno spiega benissimo i teoremi di godel. A grandi linee qualcosa ho capito... probabilmente in superficie solo.
Invece ho letto una notizia, non so se è fake...non ho controllato perché mi piace pensare sia vera cmq gli Elementi di Euclide e la bibbia sono i due libri con più edizioni. Pare che col 2018, gli Elementi abbia superato la bibbia.

[lemond]

odifreddi in un video per Rai Nettuno spiega benissimo i teoremi di godel. A grandi linee qualcosa ho capito... probabilmente in superficie solo.
Invece ho letto una notizia, non so se è fake...non ho controllato perché mi piace pensare sia vera cmq gli Elementi di Euclide e la bibbia sono i due libri con più edizioni. Pare che col 2018, gli Elementi abbia superato la bibbia.

Ovvero, gli estremi si toccano: un libro di fantasia a confronto con la scienza logica.

[matteo.conz]

La supersimmetria non si trova, l'idea del fine-tuning è un po' troppo "creazionista" (cfr. Rovelli https://www.youtube.com/watch?v=fi3GZz4vWdo) mentre l'idea del multiverso (che non esclude l'ipotesi olografica), per il poco che ne posso capire, mi pare che acquistare sempre più senso e non sarebbe neanche un'idea così fantascentifica: prima c'era solo la terra, poi il sistema solare, poi la via lattea era l'universo finchè hubble con le cefeidi scoprì sperimentalmente gli altri "universi isola" (già ipotizzati col solo pensiero da Kant) quindi il multiverso visto dal punto di vista del principio antropico non è uno skizzo della mente ma un'ipotesi seria su cui ragionare per arrivare un giorno a delle idee di esperimenti.
Qui c'è un bel video con Hawking, Penrose, Hurtle e altri teorici della versione "no boundary proposal" dell'idea del multiverso, accendete i sottotitoli e godetevela perchè, comunque la pensiate, merita una visione per tutti quelli che si pongono queste domande fondamentali:
https://www.youtube.com/watch?v=Ry_pILPr7B8

[matteo.conz]

Sull'autoconsistenza della matematica.
https://www.youtube.com/watch?v=jzKbq1W8-jA&t=930s

[matteo.conz]

Grandissimo Rovelli! autoironico e simpatico! consigliatohttps://www.youtube.com/watch?v=YbBmx-98F-I

[el_condor]

Ho trovato non pochi risultati che ritengo inediti ..

Con un mio metodo ho scomposto il polinomio in allegato. Il mio metodo vale per un polinomio in due variabili di grado n se è scomponibile in un prodotto di polinomi di primo grado.
Ad ogni modo già la possibilità di scomporre polinomi in due variabili di secondo e terzo grado è importante perché se ci sono altri metodi non sono noti.
Ciao
el_condor.

[Seb]

E come verrebbe scomposto?

[el_condor]

E come verrebbe scomposto?

ho ideato un metodo, ho fatto un articolo e l'ho inviato a una rivista. Il mio metodo è concettualmente tanto semplice che mi sembra impossibile nessuno ci abbia pensato, però non ho trovato niente di simile su Internet e due conoscenti che insegnano all'Università mi hanno detto di non essere a conoscenza di alcun metodo riguardante scomposizione in fattori di polinomi in due variabili.

ora sto completando un metodo per la scomposizione di un polinomio in 3 variabili.


Ultimamente ho anche trovato numerose relazioni riguardanti i quadrati perfetti.
Ad esempio dato a^4+na^2+2am+m^2 , per ogni valore di a esistono un m ed un n tale che l'espressione sia un quadrato perfetto.

Per a=4 , m=40 e n=-87.

Se mi dai un valore di a trovo m ed n (ho un metodo generale ma i calcoli possono essere complicati per valori grandi di a).

ciao


el_condor

[Felice]

E come verrebbe scomposto?

ho ideato un metodo, ho fatto un articolo e l'ho inviato a una rivista. Il mio metodo è concettualmente tanto semplice che mi sembra impossibile nessuno ci abbia pensato, però non ho trovato niente di simile su Internet e due conoscenti che insegnano all'Università mi hanno detto di non essere a conoscenza di alcun metodo riguardante scomposizione in fattori di polinomi in due variabili.

ora sto completando un metodo per la scomposizione di un polinomio in 3 variabili.


Ultimamente ho anche trovato numerose relazioni riguardanti i quadrati perfetti.
Ad esempio dato a^4+na^2+2am+m^2 , per ogni valore di a esistono un m ed un n tale che l'espressione sia un quadrato perfetto.

Per a=4 , m=40 e n=-87.

Se mi dai un valore di a trovo m ed n (ho un metodo generale ma i calcoli possono essere complicati per valori grandi di a).

ciao


el_condor

Condor, se a=4 ti funziona pure con:

n=3 m=2
n=6 m=4
n=12 m=8
.....

In pratica c'è un'infinità di coppie possibili per ogni valore de a. E, ovviamente, c'è una semplice formula che permette di detrminarle.

[Seb]

E come verrebbe scomposto?

ho ideato un metodo, ho fatto un articolo e l'ho inviato a una rivista. Il mio metodo è concettualmente tanto semplice che mi sembra impossibile nessuno ci abbia pensato, però non ho trovato niente di simile su Internet e due conoscenti che insegnano all'Università mi hanno detto di non essere a conoscenza di alcun metodo riguardante scomposizione in fattori di polinomi in due variabili.

Ok, ma come verrebbe scomposto? Intendo il risultato finale...

[matteo.conz]

Non ci sto capendo niente

[Felice]

Non ci sto capendo niente

Il nostro amico condor si sta facendo sospirare... Cercherò di risponderti almeno in parte io, lasciando però a lui l'ultima parola. Partiamo da qui:

Ultimamente ho anche trovato numerose relazioni riguardanti i quadrati perfetti.
Ad esempio dato a^4+na^2+2am+m^2 , per ogni valore di a esistono un m ed un n tale che l'espressione sia un quadrato perfetto.

Per a=4 , m=40 e n=-87.

Se mi dai un valore di a trovo m ed n (ho un metodo generale ma i calcoli possono essere complicati per valori grandi di a).

ciao


el_condor

Non ho idea del perchè condor dica che i calcoli possono essere complicati per valori grandi di a. In realtà, se vuoi trovare una coppia di valori che vada bene per un dato a, scegli m=a e n uguale al doppio di a meno 2 e il gioco è fatto. Per esempio, se a=4, prendi m=4 e n=6. Se vuoi trovare più coppie che vadano bene, ti basta scegliere m e n che soddisfino la relazione:

n = 2m - 2m/a

Per avere m e n interi quindi devi:
- se a è dispari, scegliere m=a o uguale a un multiplo di a e determinare n di conseguenza
- se a è pari, scegliere m=a/2 o un suo multiplo e quindi determinare n.

Per quanto riguarda la scomposizione del polinomio, è meno difficile di quanto sembri. Quello che facilita molto le cose è che si richiede (almeno penso) una scomposizione a coefficienti interi. Ovvero si vuole scrivere il polinomio nella forma:

(a_1 + b_1 X + c_1 Y)(a_2 + b_2 X + c_2 Y).....(a_5 + b_5 X + c_5 Y)

con gli a, b e c interi. Perchè questo facilita le cose? Perchè già a priori ti dice molte cose. Per esempio:

- Il temine noto (32) è il prodotto degli a_i. Il fatto che siano interi ti dice che il loro modulo deve essere uguale ad uno dei fattori di 32, ovvero: 1, 2, 4, 8, 16 o 32. Ti dice anche che, se per caso uno di essi fosse uguale a 32, gli altri dovrebbero avere tutti modulo 1, ecc. Il massimo lo hai con i c: il loro prodotto è il coefficiente di Y^5, ovvero è uguale a 1. Quindi i coefficienti c possono valere solo 1 o -1. Poi facendo qualche altra considerazione.... ma qui lasciamo la parola al condor..... trovi una scomposizione del tipo:

(1 + X - Y) (1 - 2X - Y) (2 + X - Y) (4 + 3X + Y) (4 - 2X - Y)

Dico "del tipo" perchè non ho fatto un check totale di consistenza con l'espressione data. Qualche segno (in particolare negli ultimi tre fattori) potrebbe essere sbagliato.

Ciao

[matteo.conz]

Ok, ora a grandi linee ci sono ma con l'algebra non ci ho mai capito molto perchè se non ho qualcosa di concreto e visualizzabile in testa come avviene in fisica, elettronica, segnali o economia,ecc non so da che parte girarmi perchè non so dare un significato alle equazioni o cmq scritture matematiche.

[Cthulhu]

Finalmente ho trovato dei cervelloni che potranno rispondere a una domanda che mi ossessiona da tempo: che c***o è un fibrato ?
Al di là del tono ironico, lo vorrei sapere veramente.
Digiuno digiuno di matematica non sono, ma ho bisogno di una spiegazione un po' più semplice di quella che ho trovato su wiki .

[matteo.conz]

Andrew Wiles (ultimo teorema di fermat) spiega la storia e i risultati della teoria dei numeri
https://www.youtube.com/watch?v=nfdA0F1t9pY&t=3350s

ps: fibrato, boh mai sentito.